10 приемов решения квадратного уравнения. Исследовательская работа "10 способов решения квадратных уравнений"

07.04.2024

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1 .1 Квадратные урав нения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

(x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные урав нения у ал - Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равно D ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. При этом символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. При этом имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х 2 + 10х - 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2* х * 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2* х * 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2* х * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + b х + с = 0, а? 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах * b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± v b 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 - 4 ac >0 , уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4 ac = 0 , то уравнение

ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4 ac < 0 ,

уравнение ах 2 + b х + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q ,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.

Например,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q = - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, где а? 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у 2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х 2 - 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 - 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5

у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, где а? 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1,

х 2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а? 0, получим приведенное квадратное уравнение

x 2 + b / a * x + c / a = 0.

Согласно теореме Виета

x 1 + x 2 = - b / a ,

x 1 x 2 = 1* c / a .

По условию а - b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 - c/a,

x 1 x 2 = - 1* (- c/a),

т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что м требовалось доказать.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х 2 - 137х - 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х 2 - 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 - 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2 k - четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 -- 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = -- 14, с = 16, k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х 2 + рх + q = 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р -- четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 - 14х - 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 =7±

Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

х 2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х 2 = - px - q .

Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

Прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

Прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х 2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4 . Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13) . Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х 1 = - 1 и х 2 = 4 . Ответ : х 1 = - 1;

х 2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 - 2х + 1 = 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х - 1 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N (1/2; 0) . Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1 . Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 5х - 5 . Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х - 5 . Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при всём этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки

А(0; 1) и С(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB * OD = OA * OC , откуда OC = OB * OD / OA = х 1 х 2 / 1 = c / a .

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример.

Решим уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 3.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z 2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни

z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммыуравнение

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

3) Для уравнения

z 2 - 25 z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5 t 1 = 3,0 и z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4* 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25* 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у - 16 = 0 .

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у 2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у 2 - 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 - 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у - 3 . Заменяя выражение у 2 - 6у равным ему числом 16,

получаем: (у - 3) 2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± v25 , или у - 3 = ± 5, где у 1 = 8 и у 2 = - 2.

Заключение

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

При этом, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Литература:

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

1.3 Квадратные уравнения в Индии

ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

(x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

1.6 О теореме Виета

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х 2 + 10х - 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

х 2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 - 4 ac >0 , уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4 ac = 0 , то уравнение

ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4 ac < 0 ,

уравнение ах 2 + b х + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q ,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

Например,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 иx 2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 иx 2 = - 1, так какq = 7 > 0 иp = 8 > 0.

Например,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 иx 2 = 1, так какq = - 5 < 0 иp = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 иx 2 = - 1, так какq = - 9 < 0 иp = - 8 < 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у 2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

Пример.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5

у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1,

х 2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x 2 + b / a x + c / a = 0.

Согласно теореме Виета

x 1 + x 2 = - b / a ,

x 1 x 2 = 1 c / a .

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что м требовалось доказать.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 - 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

1.3 Квадратные уравнения в Индии

ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

(x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

ал - Хорезми, как и все математики до XVIIв., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

PAGE_BREAK--

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

1.6 О теореме Виета

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

2. Способы решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х 2 + 10х - 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

х2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

3. СПОСОБ :Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение:4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 - 4 ac >0 , уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4 ac = 0 , то уравнение

ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D < 0.

Продолжение
--PAGE_BREAK--

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4 ac < 0 ,

уравнение ах 2 + b х + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

/>x 1 x 2 = q ,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

Например,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 иx 2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 иx 2 = - 1, так какq = 7 > 0 иp = 8 > 0.

Например,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 иx 2 = 1, так какq = - 5 < 0 иp = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 иx 2 = - 1, так какq = - 9 < 0 иp = - 8 < 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, гдеа ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у 2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

Пример.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

/>/>/>/>/>у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5

у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, гдеа ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1,

х 2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x 2 + b / a x + c / a = 0.

/>Согласно теореме Виета

x 1 + x 2 = - b / a ,

x 1 x 2 = 1 c / a .

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

/>x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что м требовалось доказать.

Примеры.

Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так кака + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так кака + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

Продолжение
--PAGE_BREAK--

Пример.

Решим уравнение 3х2 - 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х 2 + рх + q = 0

принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р - четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 =7±

Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

х 2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х 2 = - px - q .

Построим графики зависимости у = х2и у = - px- q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

Прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

Прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х 2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в видех 2 = 3х + 4 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4 . Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13) . Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х 1 = - 1 и х 2 = 4 . Ответ : х 1 = - 1;

х 2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 - 2х + 1 = 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х - 1 .

Построим параболу у = х 2 и прямуюу = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N (1/2; 0) . Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1 . Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Ответ. Уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки

А(0; 1) иС(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB OD = OA OC , откуда OC = OB OD / OA = х 1 х 2 / 1 = c / a .

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6, а) В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точкеВ(х 1 ; 0) , где х1- корень квадратного уравнения.

Продолжение
--PAGE_BREAK--

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример.

Решим уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 3.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z 2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни

z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммыуравнение

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 иz 2 = 0,5.

3) Для уравнения

z 2 - 25 z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откудаz 1 = 5 t 1 = 3,0 иz 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Примеры.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у - 16 = 0 .

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

3) Решить геометрически уравнение у 2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у 2 - 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 - 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у - 3 . Заменяя выражение у 2 - 6у равным ему числом 16,

получаем: (у - 3) 2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25 , или у - 3 = ± 5, где у 1 = 8 иу 2 = - 2.

Заключение

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

Литература:

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

Точилкина Юлия

Исследовательская работа по теме "10 способов решения квадратных уравнений"

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 59»

10 способов решения квадратных уравнений

(реферативная работа)

Выполнила: ученица 8А класса

МБОУ «СОШ № 59г.Барнаула

Точилкина Юлия

Руководитель:

Захарова Людмила Владимировна,

учитель математики, МБОУ «СОШ № 59»

г. Барнаул

Введение ……………………………………………………………...2

I. История развития квадратных уравнений ……………………………...3

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………………...4

2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………5

3. Квадратные уравнения в Индии……………………………………………6

4. Квадратные уравнения у ал- Хорезми …………………………………….7

5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв………………..................9

6. О теореме Виета ……………………………………………………..…….10

……………………….........11

Разложение левой части уравнения на множители………………...........12
Метод выделения полного квадрата.……………………….…….............13
Решение квадратных уравнений по формулам …………………..………14
Решение уравнений с использованием теоремы Виета…………….........16

5.Решение уравнений способом переброски»……………………………….18

Свойства коэффициентов квадратного уравнения…………………….....19

7.Графическое решение квадратного уравнен……………………..……….. 21

8.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки……….. 24

9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………. 26

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений……………….28

III. Заключение …………………………………………………..........................30

Литература…………………………………………………………………….….32

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

У. Сойер

1. Введение

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «10 способов решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

Цель работы: научиться решать квадратные уравнения, изучить различные методы их решения.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

Изучить историю развития квадратных уравнений;

Рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

Научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования : с пособы решения квадратных уравнений.

Методы исследования:

Теоретические: изучение литературы по теме исследования;

Internet –информации.

Анализ: информации полученной при изучении литературы;

Результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

История развития квадратных уравнений.

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

2. Квадратные уравнения в Греции или как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

Х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

3. Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + bх = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис.1).

Соответствующее задаче уравнение:

(x/8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом: х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого

уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем: х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024, рис.1

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

4. Квадратные уравнения у ал - Хорезми.

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

6. О теореме Виета.

(а + b)х - х 2 = ab, т.е.

х 2 - (а + b)х + аb = 0, то

х 1 = а, х 2 = b.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

II. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью. Например, квадратное уравнение позволяет рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. В математической литературе я нашла десять способов решения квадратных уравнений и в своей работе я разобрала каждый из них

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где коэффициенты а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

Определение 2 . Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль.

Определение 4 . Решить квадратное уравнение - значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

х + 12= 0 или х – 2=0

х=-12 х=2

Ответ: -12; 2.

Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

тогда, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0,

(х + 3) 2 = 16.

х + 3=4 или х + 3 = -4

Х 1 = 1 х 2 = -7

Ответ: 1; -7.

Решение квадратных уравнений по формулам.

Умножим обе части уравнения ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а, тогда

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

1. Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b 2 - 4ac >0, уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4ac = 0 , то уравнение имеет один корень .

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4ac , уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

Примеры .

а) Решим уравнение:

4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3.

D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,D > 0,

Ответ: 1; .

б) Решим уравнение:

4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1,

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0, D = 0, уравнение имеет один корень;

Ответ:

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D

Данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида (1) где старший коэффициент равен единице.

Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по следующей формуле:

Запомнить эту формулу можно заучив следующий стишок.

P со знаком взяв обратным

На 2 мы его разделим,

И от корня аккуратно знаком отделим,

А под корнем очень кстати

Половина в квадрате,

Минус - и вот решение небольшого уравнения.

Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a, , тогда

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда -
В числителе Ь, в знаменателе а.

Если обозначить , то мы получим уравнение вида . А формулы () примут вид

Таким образом: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней.

А) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента:

Если р , то оба корня положительные;

Если р > 0 , то оба корня отрицательные.

Например,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

Б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0 .

Например,

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 и p = - 8

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 и p = 4 > 0.

Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

равносильно данному.

Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

У 1 = 5 , х 1 = 5/2 , x 1 = 2,5

У 2 = 6; x 2 = 6/2; x 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

то х 1 = 1, х 2 = с/а.

Если a – b + c=0, то х 2 =-1, х 2 = -с/а

Примеры.

А. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

Б. Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

2) Решим уравнение 2х 2 + 3х +1= 0. Так как 2 - 3+1=0, значит х 1 = - 1, х 2 = -с/а= -1/2

Ответ: х 1 =-1, х 2 =-1/2.

Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.

2. Если второй коэффициент уравнения b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде

Пример.

Решим уравнение 3х 2 - 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = - 14 (k = -7), с = 16,

D 1 = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 1 > 0, уравнение имеет два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

Приведенное уравнение х 2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид

Формулу () удобно использовать, когда р - четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем а=1, в =-14, (к=-7),с=-15.

х 1,2 =7± =7 ± ,

х 1,2 = 15; х 2 = -1.

Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.

7.Графическое решение квадратного уравнения.

И спользуя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение =0

1способ . Построим график функции , воспользовавшись алгоритмом.

1)Имеем:

Значит, вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая x=1

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки рис.2

Х= -1 и х=3, тогда f(-1)=f(3)=0.

3) Через точки (-1;0) , (1;-4), (3;0) проводим параболу (рис 2).

Корнями уравнений являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения

2 способ

Преобразуем уравнение к виду .

и (рис 3).

Они пересекаются в двух точках A(-1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B, значит, .

Рис.3

3 способ

Преобразуем уравнения к виду .

Построим в одной системе координат графики функций и (рис.4) Они пересекаются в двух точках A(-1;-2) и В (3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому .

Рис.4

4 способ

Преобразуем уравнение к виду, затем т.е.

Построим в одной системе координат параболу и прямую . Они пересекаются в точках А(-1;4) и В(3;4). Корнями уравнений служат абсциссы точек А и В, поэтому (рис.5).

Рис.5

5 способ

Разделим почленно обе части уравнения на x, получим:

;

Рис.6

Построим в одной системе координат гиперболу и прямую (рис.6). Они пересекаются в двух точках А(-1;-3) и В(3;1). Корнями уравнений являются абсциссы точек А и В, следовательно, .

Первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида

ах 2 + bх + с = 0, а пятый- только к тем, у которых с не равно нулю.

Графические способы решения квадратных уравнений красивы, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и

Линейки.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.7).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + bх + с = 0 , и проходит через точки

А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB OD = OA OC , откуда OC = OB OD / OA= х 1 х 2 / 1 = c/a.

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 8а) В(х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a) , окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 8в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Рис.8

а) б) в)

Пример.

Решим уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 (рис.9).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 3.

9. Решение квадратных уравнений с помощью

Номограммы.

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-

там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.10):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из

подобия треугольников САН и CDF получим

пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z 2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис. 11).

Ответ: 8,0 ; 1,0.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,

получим уравнение z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

3) Для уравнения z 2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t , получим уравнение t 2 - 5t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5t 1 = 3,0 и z 2 = 5t 2 = 22,0.

Ответ: 3; 22.

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Примеры.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.12).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у - 16 = 0 .

Решение представлено на рис 13. где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис. .

рис.13

3) Решить геометрически уравнение у 2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у 2 - 6у = 16.

На рис 14. находим «изображения» выражения у 2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 - 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у - 3 . Заменяя выражение у 2 - 6у равным ему числом 16,

получаем: (у - 3) 2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25 , или у - 3 = ± 5, где у 1 = 8 и у 2 = - 2.

Рис.14

Заключение

В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Способов решения квадратных уравнений очень много. Я нашла 10 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах. При работе над темой я ставила задачу выяснить какие методы являются стандартными, а какие нестандартными.

Итак, стандартные методы (используются чаще при решении квадратных уравнений):

Решение квадратных уравнений по формулам
Теорема Виета
Графическое решение уравнений
Разложение левой части на множители
Выделение полного квадрата

Нестандартные методы:

Решение способом переброски коэффициентов
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки.
Решение с помощью номограммы
Геометрический способ

При решении квадратных уравнений для себя я сделала следующие выводы: Для того, чтобы хорошо решать любое квадратные уравнения необходимо знать:

формулу нахождения дискриминанта;

формулу нахождения корней квадратного уравнения;

алгоритмы решения уравнений данного вида.

уметь:

решать неполные квадратные уравнения;

решать полные квадратные уравнения;

решать приведенные квадратные уравнения;

находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

делать проверку.

Думаю, что моя работа будет интересна учащимся 8 классов, а также тем, которые хотят научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам. На уроках математики я рассказала своим одноклассникам методы решения квадратных уравнений №5 и 6, ребятам они понравились. Также она будет интересна и учителям математики, так как в своей работе я не только рассмотрела методы решения квадратных уравнений, но и историю их развития.

Л итература

Мордкович, А. Г. Алгебра.8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2011.-260с.
Мордкович, А.Г. Алгебра.8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2011.-270с.
Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.
Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.
Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис-М.: Просвещение, 1990-
Теорема Виета– Режим доступа:. http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta / Теорема Виета (ресурсы удаленного доступа (Internet)). 10.12.2013.
Квадратные уравнения– Режим доступа: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (ресурсы удаленного доступа (Internet )). 10.01.2014.